多元微积分：偏导数与梯度

演示数据：本文用于验证数学排版与知识库结构，不是个人课程记录。

偏导数

令 $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$。固定另一个自变量，对指定变量求导：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x+4y.$$

例如在 $(1,2)$，两个偏导数分别为 $4$ 和 $9$。

梯度与方向导数

梯度是偏导数组成的向量：

$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2x+y\\x+4y\end{pmatrix}, \quad \nabla f(1,2)=\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}.$$

对可微函数，沿单位向量 $u$ 的方向导数为 $D_u f=\nabla f\cdot u$。取 $u=(1,0)$ 得到 $D_u f(1,2)=4$。由柯西不等式，单位方向上的最大方向导数是 $\|\nabla f\|$，在此点为 $\sqrt{97}$。

Hessian 与凸性

$$H=\begin{pmatrix}2&1\\1&4\end{pmatrix},\qquad \det H=7>0.$$

首个顺序主子式 $2>0$，行列式 $7>0$，因此 Hessian 正定，函数严格凸。驻点由 $2x+y=0$ 和 $x+4y=0$ 联立得到 $(0,0)$，是唯一全局最小点。

其他公式排版示例

$$\int_0^1 x^2\,dx=\frac13,\quad \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n^2}=0.$$ $$g(x)=\begin{cases}x^2,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}$$

一个证明的组织方式

命题。 对上述二次函数，原点是严格全局最小点。

证明。 配方得到 $f(x,y)=(x+y/2)^2+7y^2/4\ge0$，且等号仅当 $x=y=0$ 成立。证毕。